目录一、树概念及结构树的概念树的相关概念树的表示二、二叉树概念及结构概念特殊的二叉树二叉树的性质二叉树的存储结构三、二叉树的顺序结构及实现二叉树的顺序结构堆的概念及结构堆的作用:堆的性质：计算孩子与父亲的下标关系1. 通过父亲得到左右孩子的下标2. 通过孩子找到父亲的下标如何得知自己是左孩子还是右孩子?下标的逻辑关系:判断数组是不是堆堆的代码实现1. 向上调整算法用途时间复杂度:O(log2(n))代码实现2. 向下调整算法用途:时间复杂度:O(log2n)代码实现3. 堆的创建1. 向下调整算法建堆代码实现建堆时间复杂度2. 向上调整算法建堆(简)4. 堆的插入代码实现5. 堆的删除代码实现6. 堆的其他功能 -- 代码实现Heap.hHeap.c堆的应用1. 堆排序堆排序代码实现时间复杂度分析2. TOP-K问题时间复杂度:四、二叉树链式结构与实现二叉树的遍历层序遍历代码实现Tree.h构建二叉树与基本功能tree.c构建二叉树二叉树销毁前序遍历中序遍历后序遍历中序遍历(非递归)层序遍历计算二叉树第k层节点个数计算树的节点个数(全部节点和)前序遍历保存二叉树节点的值计算叶子节点个数二叉树查找计算二叉树高度判断是否完全二叉树判断是否是子树判断两棵树是否相同相同两个树是否对称两棵树是否对称2二叉树的直径单值二叉树翻转二叉树最大深度用到的队列Quque.hQueue.c
一、树概念及结构
树的概念
树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i
<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
因此，树是递归定义的。
注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构
树的相关概念
节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点
非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；
树的表示
树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间
的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法
等。简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。
typedef int DataType;
struct Node
{
struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
DataType _data; // 结点中的数据域
};
树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）
二、二叉树概念及结构
概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:
或者为空
由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成
从上图可以看出：
二叉树不存在度大于2的结点
二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：
特殊的二叉树
满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是
说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2k -1，则它就是满二叉树。
完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K
的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对
应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
二叉树的性质
若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2i-1个结点.
若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2h-1.
层数 最大节点数
h = 1 2^0 == 1
h = 2 2^1 == 2
h = 3 2^2 == 4
...
h = h 2^(h-1) = x个
性质总结:
1.即每一层的最大节点数为x = 2^(h-1)
2.每一层的最大节点数都是之前所有层的和+1.
即所有节点的和 = 最大层的下一层的最大节点书-1
即n=2^h -1
3.对n=2^h-1 同时取对数,得到:
log₂(n+1) = h
即高度h等于log₂(n+1)
对任何一棵二叉树, 如果叶结点(度为0)个数为n0, 度为2的分支结点个数为n2,则有n0＝n2 ＋1
若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=log2(n+1).
对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对
于序号为i的结点有：
若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
若2i+1
若2i+2
二叉树的存储结构
二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。
顺序存储
顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空
间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺
序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。
链式存储
二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是
链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所
在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前简单二叉树一般都是二叉链，红黑树等会用到三叉链。
typedef int BTDataType;
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{
struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子
struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
BTDataType _data; // 当前节点值域
}
// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{
struct BinTreeNode* _pParent; // 指向当前节点的双亲
struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子
struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
BTDataType _data; // 当前节点值域
三、二叉树的顺序结构及实现
二叉树的顺序结构
普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结
构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统
虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。
堆的概念及结构
将根节点是最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点是最小的堆叫做最小堆或小根堆。
堆的作用:
选数
排序
topK问题(N个数中,找最大或最小的前k个)
堆的性质：
堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
堆总是一棵完全二叉树。
大堆:树中所有父亲都大于等于孩子
小堆:树中所有父亲都小于等于孩子
计算孩子与父亲的下标关系
1. 通过父亲得到左右孩子的下标
leftchild = parent*2+1
rightchild = parent*2+2
2. 通过孩子找到父亲的下标
前提,需要知道自己是左孩子还是右孩子
如何得知自己是左孩子还是右孩子?
下标的逻辑关系:
左孩子一定是奇数位
右孩子一定是偶数位
可以得到
parent = (leftchild - 1)/2
parent = (rightchild - 2)/2
根据计算机取整规则(向下取整):(左右孩子下标-1)/2的值是一样的
因此计算父亲下标的统一规则
parent = (child - 1) / 2
堆的逻辑结构是一颗完全二叉树
堆的物理结构是数组,
逻辑结构感性说明:想象的结构,图形
物理结构:实际存储结构,内存中的存储方式
判断数组是不是堆
方法:(画图)转成完全二叉树,看满不满足堆的条件
依据:任何一个数组都可以看作是完全二叉树,但完全二叉树不一定是堆
堆的代码实现
1. 向上调整算法
将子节点从下到上调整到符合堆的合适位置.
用途
插入(在堆的前提下插入新元素)
时间复杂度:O(log2(n))
分析:最坏要走到顶点,即高度次log2(n+1),最好是插入就满足,不用调整,即O(1)次
代码实现
大堆版本
void AdjustUp(HeapDataType* a, int child)
{
//向上调整算法-大堆:父亲小于最大儿就换
assert(a);
int parent = (child - 1) / 2;
while (child > 0)
{
if (a[child] > a[parent])
{
Swap(&a[child], &a[parent]);
child = parent;
parent = (child - 1) / 2;
}
else
{
break;
}
}
}
2. 向下调整算法
用于将一棵二叉树从顶点开始调整成堆.
用途:
删除堆的某个元素
无序数组建堆(最快方法)
堆排序
给出一个数组，逻辑上看做一颗完全二叉树。我们通过从根节点开始的向下调整算法可以把它调整
成一个小堆。向下调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆，才能调整。
int array[] = {27,15,19,18,28,34,65,49,25,37};
时间复杂度:O(log2n)
分析:最坏情况是从堆顶调整到堆底.即高度次
代码实现
前提：左右子树是堆
适合建堆：
//大堆版本
void AdjustDown(HeapDataType *a,int size, int parent)
{
//假设左孩子大
int child = parent * 2 + 1;
//调整到叶子就结束
while (child < size) //左孩子不存在,右孩子一定不存在
{
//向下调整算法-大堆:选出最大孩子
if (child + 1 < size && a[child] < a[child + 1]){
child++;
}
//我小于我最大的孩子,就要交换,让他来当父亲,我当儿子 --- 因为大堆要选出最大的,只要最大的
if (a[child] > a[parent])
{
Swap(&a[child], &a[parent]);
parent = child;
child = parent * 2 + 1;
}
else //父结点大比孩子大就可以结束了(已经是堆结构)
{
break;
}
}
}
3. 堆的创建
1. 向下调整算法建堆
原理:从最小父亲开始向上依次执行调整算法（虽然可以从最小孩子,不过没有意义,可以优化掉） --- 从最小的父亲开始,调整成堆,然后依次往前调整其他父亲节点.
-- 即从最小子树开始,倒着走,依次让最小子树成为堆,走完一层后使父节点的左右子树都为堆,始终满足向下调整算法,继续循环,直到调整到堆顶,建堆完成.
可以从数组末尾(都是叶子节点)开始,但是没有意义,因为:
叶子节点本身就满足堆.不需要调整
数组末尾部分位于二叉树最后一层,最后一层节点数量可能非常大(满二叉树为所有节点的一半-1),遍历对效率有影响
综上,可以优化掉叶子节点,避免浪费,提高效率
int a[] = {1,5,3,8,7,6};
代码实现
//接收一个堆指针(输出型参数)，一个数组，一个数组大小
void HeapCreate(Heap *ps, HeapDataType *a, int size)
{
assert(ps);
//1. 开辟堆中数组空间
ps->a = (HeapDataType *)malloc(size * sizeof(HeapDataType));
if (ps->a == NULL)
{
perror("malloc fail");
exit(1);
}
memcpy(ps->a, a, size *sizeof(HeapDataType));//拷贝数组过去
ps->size = size;
ps->capacity = 2 * size;
//2. 建堆
//从最小父亲开始向下调整
//循环，直到父亲(堆顶)
int parent = (size - 1 - 1) / 2; //找最小的父亲,即可
while (parent >= 0)
{
AdjustDown(ps->a, ps->size, parent);
parent--;
}
}
建堆时间复杂度
因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，此处为了简化使用满二叉树来证明(时间复杂度本来看的
就是近似值，多几个节点不影响最终结果)：
因此：建堆的时间复杂度为O(N)。
向下调整算法建堆时间复杂度计算
假设满二叉树树高度h
各层的节点数为
第一层 2 ^ 0 ------向下调整h-1次
第二层 2 ^ 1 ------向下调整h-2次
第三层 2 ^ 2 ------向下调整h-3次
... ...
第h - 1层 2 ^ (h - 2) ------向下调整1次
第h层 2 ^ (h - 1)
向下调整算法建堆是从最小父亲开始，即第h-1层的最后一个节点 parent = (size-1-1)/2
最坏情况下所有节点需要执行的次数为
f(h) = 2^(h-2)*1 + 2^(h-3)*2 + ... + 2^1*(h-2) + 2^0*(h-1) 错位相减
2*f(h) = 2^(h-1)*1 + 2^(h-2)*2 + ... + 2^2*(h-2) + 2^1*(h-1)
作差、合并得f(h) = 2^h -h-1
其中 满二叉树节点数N = 2^h-1，即h = log(N+1) 代入得
f(N) = N - 1 - log(N+1) ， 舍去logN(数量级)
所以O(n) = n
2. 向上调整算法建堆(简)
向上调整算法也可以建堆,但是效率十分低下,不推荐使用
代码实现
void HeapCreate(Heap *ps, HeapDataType *a, int size)
{
assert(ps);
//1. 开辟堆中数组空间
ps->a = (HeapDataType *)malloc(size * sizeof(HeapDataType));
if (ps->a == NULL)
{
perror("malloc fail");
exit(1);
}
memcpy(ps->a, a, size *sizeof(HeapDataType));//拷贝数组过去
ps->size = size;
ps->capacity = 2 * size;
//插入式建堆
for(int i = 1; i AdjustUp(ps,i); } } 时间复杂度: Tn = 1*20+2*21+3*22+...+h*2h-1; Tn = S1+S2+...+Sn; Sn = n*2(n-1); //同增关系 只看最后一项: 根据 h=log2(n+1),代换得到 h*2h-1=log2(n+1)*n 至少最后一项来看,就已达到O(n*log2n)级别,显然向上调整建堆的Sn的量级比向下调整建堆的量级高出很多 假设满二叉树树高度h 各层的节点数为 第一层 2 ^ 0 第二层 2 ^ 1 ------向上调整1次 第三层 2 ^ 2 ------向上调整2次 ... ... 第h - 1层 2 ^ (h - 2) ------向上调整h-2次 第h层 2 ^ (h - 1) ------向上调整h-1次 计算方法还是错位相减，由图显然可发现向上调整算法执行次数数量级明显提高 不再计算 O(n) = n*logN 4. 堆的插入 先插入一个10到数组的尾上，再进行向上调整算法，直到满足堆。 代码实现 void HeapPush(Heap *ps,HeapDataType x) { assert(ps); //考虑扩容 if (ps->size == ps->capacity){ int newCapacity = ps->capacity == 0 ? 4 : 2 * ps->capacity; HeapDataType *tmp = (HeapDataType *)realloc(ps->a, newCapacity * sizeof(HeapDataType)); if (tmp == NULL){ perror("realloc fail!"); exit(-1); } ps->a = tmp; ps->capacity = newCapacity; } ps->a[ps->size] = x; ps->size++; AdjustUp(ps->a, ps->size - 1); } 5. 堆的删除 删除堆是删除堆顶的数据，将堆顶的数据根最后一个数据一换，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调 整算法。 代码实现 void HeapPop(Heap *ps) { assert(ps); assert(ps->size > 0); // 保证堆中存在数据 Swap(&ps->a[ps->size-1], &ps->a[0]); ps->size--; AdjustDown(ps->a,ps->size, 0); } 6. 堆的其他功能 -- 代码实现 Heap.h #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1 #pragma once #include #include #include #include #include typedef int HeapDataType; typedef struct Heap { HeapDataType *a; int size; int capacity; //顺序表思想 }Heap; void HeapPrint(Heap *ps); void HeapInit(Heap *ps); void HeapDestroy(Heap *ps); void HeapPush(Heap *ps,HeapDataType x); void HeapPop(Heap*ps); int HeapSize(Heap *ps); bool HeapEmpty(Heap *ps); //接受一个堆，数组， 数组大小。建一个堆 void HeapCreate(Heap*ps, HeapDataType *a, int size); void HeapSort(HeapDataType *a, int size); void AdjustDown(HeapDataType *a, int size, int parent); void AdjustUp(HeapDataType *a, int child); void Swap(HeapDataType *p1, HeapDataType *p2); Heap.c #include"Heap.h" void Swap(HeapDataType *p1, HeapDataType *p2){ HeapDataType tmp = 0; tmp = *p1; *p1 = *p2; *p2 = tmp; } void HeapPrint(Heap *ps){ assert(ps); for (int i = 0; i < ps->size; i++) { printf("%d ", ps->a[i]); } } void HeapInit(Heap *ps){ assert(ps); ps->a = NULL; ps->size = 0; ps->capacity = 0; } void HeapDestroy(Heap *ps){ assert(ps); free(ps->a); ps->capacity = ps->size = 0; } //选数相当快，只需要logN次 HeapDataType HeapTop(Heap *ps){ assert(ps); assert(ps->size > 0); return ps->a[0]; } int HeapSize(Heap *ps){ assert(ps); return ps->size; } bool HeapEmpty(Heap *ps){ assert(ps); return ps->size == 0; } 堆的应用 1. 堆排序 堆排序即利用堆的思想来进行排序，总共分为两个步骤： 建堆 升序：建大堆 降序：建小堆 利用堆删除思想来进行排序 建堆和堆删除中都用到了向下调整，因此掌握了向下调整，就可以完成堆排序。 堆排序代码实现 HeapSort.c #include"Heap.h" //建大堆:升序 //建小堆:降序 // 原理: // 1. 建好堆,堆顶一定是最大/最小 // 2. 首位交换,堆顶到末尾(等价于堆删除操作) ---> 且最后一定是最大/最小的 // 3. 调整堆 void HeapSort(HeapDataType *a, int size) { assert(a); //向上调整建堆(测试用) //int parent = (size - 1 - 1) / 2; //while (parent >= 0) //{ // AdjustDown(a, size, parent); // parent--; //} // ---- 1. 向下调整算法建堆 ---- //时间复杂度O(n) int parent = (size - 1 - 1) / 2; while (parent >= 0) { AdjustDown(a, size, parent); parent--; } // ---- 2. 选数 ---- //时间复杂度O(n*logN),n个数都要高度次调整 //int end = size - 1; //下标版本 //元素个数版本,能够复用删除写法 while (size > 1) //元素个数大于1 { Swap(&a[0], &a[size - 1]); //交换 size--; AdjustDown(a, size, 0); //调整堆 -- 注意,此处end为元素个数 } } 时间复杂度分析 //建堆时间复杂度为N //"删除"过程和向上调整算法建堆几乎一样(镜像操作),约等于n*logN //合计时间复杂度 O(n + n*logN) = O(n*logN) 2. TOP-K问题 TOP-K问题：即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。 比如：专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。 对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能 数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下： 用数据集合中前K个元素来建堆 前k个最大的元素，则建小堆 前k个最小的元素，则建大堆 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，若是小堆则大于堆顶元素时替换,然后向下调整.最后沉淀下来的就是最大的前K个;若是大堆则相反; 时间复杂度: O(K+(N-K)*log2K) == O(N*log2K) //K远小于N K:前K个先建大小为K的堆 后N-K个,最坏情况每次都比上一个大,每次都要向下调整到堆底. 四、二叉树链式结构与实现 二叉树的遍历 前序、中序以及后序遍历 学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓二叉树遍历(Traversal)是按照某种特定的规则，依次对二叉 树中的节点进行相应的操作，并且每个节点只操作一次。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。 遍历 是二叉树上最重要的运算之一，也是二叉树上进行其它运算的基础。 按照规则，二叉树的遍历有：前序/中序/后序的递归结构遍历： 前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。 中序遍历(Inorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。 后序遍历(Postorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。 由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）又可解释为 根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。 层序遍历 层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在 层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层 上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。 代码实现 Tree.h #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1 #pragma once #include #include #include //树的遍历 //根据不同的递归遍历方法 访问 每个树（结构体）的data和左右孩子 进行操作。 //每次递归到一颗新树（每个节点都是一颗树），都要先判断是否空树 ---- 以防止野指针错误 //---- 创建二叉树 ---- typedef int BTDataType; typedef struct BinaryTreeNode { BTDataType data; struct BinaryTreeNode *left; //left sub tree struct BinaryTreeNode *right; //right sub tree }BTNode; /* node->data = x; node->left = NULL; node->right = NULL; */ BTNode* BuyBTNode(BTDataType x);//构建值为x的节点 /* printf("%d", root->data); PrevOrder(root->left); PrevOrder(root->right); */ void PrevOrder(BTNode *root);//先根遍历 /* PrevOrder(root->left);s printf("%d", root->data); PrevOrder(root->right); */ void InOrder(BTNode *root); //中根遍历 /* PrevOrder(root->left); PrevOrder(root->right); printf("%d", root->data); */ void PostOrder(BTNode *root); //后根遍历 void LevelOrder(BTNode *root); //层序遍历 /* return BTSize(root->left) + BTSize(root->right) + 1; */ int BTSize(BTNode* root); //求二叉树节点个数 /**/ int BTLeafSize(BTNode* root); //求二叉树叶子节点个数 int BTHeight(BTNode *root);//求二叉树高度 int BTLevelKSize(BTNode *root, int k);//计算二叉树第k层节点 BTNode *BTFind(BTNode* root, BTDataType x); //二叉树查找某节点地址 void BTDestroy(BTNode*root); //二叉树销毁 BTNode * rebuildBinaryTree(BTDataType* str, int *pi); //构建一颗二叉树, pi为数组的下标地址 bool isBTComplete(BTNode *root); 构建二叉树与基本功能 tree.c #include"Tree.h" /*创建一个值为x的二叉树节点*/ BTNode* BuyBTNode(BTDataType x) //创建值为x的节点 { BTNode *node = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));//使用指针要指向实际空间 if (!node) { perror("malloc fail!"); exit(1); } node->data = x; node->left = NULL; node->right = NULL; return node; } /* 遍历命名 N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree） 根据访问结点操作发生位置命名： ① NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称（先序遍历）） ——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。 ② LNR：中序遍历(Inorder Traversal) ——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。 ③ LRN：后序遍历(Postorder Traversal) ——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。 前三种次序与后三种次序对称 */ 构建二叉树 /*构建一个二叉树*/ BTNode *rebuildBinaryTree(BTDataType* str, int *pi) // pi为数组的下标地址 { if (str[*pi] == '#') { (*pi)++; return NULL; } BTNode*root = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode)); root->data = str[(*pi)++]; root->left = rebuildBinaryTree(str, pi); root->right = rebuildBinaryTree(str, pi); return root; } 二叉树销毁 /*二叉树销毁*/ void BTDestroy(BTNode*root) /*一级指针传值，调用后需要在函数外置空root*/ { if (!root) { return; } BTDestroy(root->left); BTDestroy(root->right); free(root); root->left = root->right = NULL; } 前序遍历 /*前序遍历*/ void PrevOrder(BTNode *root) //previous order顺序 NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称 { if (!root ) { printf("NULL "); return; } printf("%d ", root->data); PrevOrder(root->left); PrevOrder(root->right); } 中序遍历 /*中序遍历*/ void InOrder(BTNode *root) // ..中 { if (!root ) { printf("NULL "); return; } InOrder(root->left); printf("%d ", root->data); InOrder(root->right); } 后序遍历 /*后续遍历*/ void PostOrder(BTNode *root) // post- 前缀 ..之后 ..后面 ..后 { if (!root ) { printf("NULL "); return; } PostOrder(root->left); PostOrder(root->right); printf("%d ", root->data); } 中序遍历(非递归) vector vector stack TreeNode* cur = root; while(cur || !st.empty()) { while(cur) { st.push(cur); cur = cur->left; } TreeNode* top = st.top(); v.push_back(top->val); st.pop(); cur = top->right; } return v; } 层序遍历 #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1 #include"Tree.h" #include"Queue.h" //无层级 void LevelOrder(BTNode *root) { if (!root) return; //通过队列实现 Queue queue; QueueInit(&queue); if (root) QueuePush(&queue, root); //通过队列缓存子树滚动数据实现遍历 while (!QueueEmpty(&queue)) { BTNode* front = QueueFront(&queue);//把数据从队列中取出 printf("%d ", front->data); QueuePop(&queue); if (front->left) { QueuePush(&queue, front->left); } if (front->right) { QueuePush(&queue, front->right); } } QueueDestroy(&queue); } //有层级 void LevelOrder2(BTNode *root) { if (!root) { return; } Queue queue; QueueInit(&queue); int levelSize = 0; QueuePush(&queue, root); levelSize = 1; while (!QueueEmpty(&queue)) { while (levelSize--) { BTNode* front = QueueFront(&queue); printf("%d ", front->data); QueuePop(&queue); if (front->left) QueuePush(&queue, front->left); if (front->right) QueuePush(&queue, front->right); } printf("\n"); levelSize = QueueSize(&queue); } QueueDestroy(&queue); } 计算二叉树第k层节点个数 /*求二叉树第k层节点个数*/ int BTLevelKSize(BTNode *root , int k) { /*空*/ if (!root) { return 0; } //遇到第k层 if (k == 1) //最后一层，第k层 { return 1; } return BTLevelKSize(root->left,k-1) + BTLevelKSize(root->right,k-1) ; } 计算树的节点个数(全部节点和) int TreeSize(struct BinaryTreeNode *root) { return !root ? 0 : TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right) + 1; } 前序遍历保存二叉树节点的值 #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1 #include"Tree.h" int TreeSize(struct BinaryTreeNode *root) { return !root ? 0 : TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right) + 1; } void _preorderTraversal(struct BinaryTreeNode *root, int *str, int* pi) { if (!root) { return ; } str[(*pi)++] = root->data; _preorderTraversal(root->left, str, pi); _preorderTraversal(root->right, str, pi); } int* preorderTraversal(struct BinaryTreeNode* root, int* returnSize){ *returnSize = TreeSize(root); int *a = (int*)malloc(*returnSize * sizeof(int)); int i = 0; _preorderTraversal(root, a, &i); return a; } 计算叶子节点个数 /*求二叉树叶子节点个数*/ int BTLeafSize(BTNode* root) { if (!root) { return 0; } //思想：左右节点为空即为叶子 if(!root->left && !root->right) { return 1; } return BTLeafSize(root->left) + BTLeafSize(root->right); } 二叉树查找 /*二叉树查找*/ BTNode *BTFind(BTNode* root, BTDataType x) { if (!root ) return NULL; //自己就是,找到了 if (root->data == x) return root; //左子树找到了 BTNode*left = BTFind(root->left ,x); if (left) return left; //右子树找到了 BTNode*right = BTFind(root->right,x); if (right) return right; //没找到 return NULL; //root ！=NULL ， 值不为x ，左右子树找不到，返回空 } 计算二叉树高度 方法一 思路:比较左右子树高度，不要小的 只有关系运算符能够实现：比较两边选一边舍弃另一边 存在问题:递归之后栈帧会销毁，数据不再保存，每次递归都需要重新计算以往计算过的子树高度,有性能浪费;且每个子树高度计算都是指数级 /*求二叉树高度*/ int BTHeight(BTNode *root) { if (!root) return 0; return BTHeight(root->left) > BTHeight(root->right) ? BTHeight(root->left) + 1 : BTHeight(root->right) + 1; } 方法二 通过记下当前栈帧数据，避免重复计算 int BTHeight(BTNode *root) { if (!root) return 0; int leftHeight = BTHeight(root->left); int rightHeight = BTHeight(root->right); return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1; } 判断是否完全二叉树 #include"Tree.h" #include"Queue.h" bool isBTComplete(BTNode *root) { if (!root) { return false; } Queue queue; QueueInit(&queue); QueuePush(&queue, root); while (!QueueEmpty(&queue)) { BTNode* front = QueueFront(&queue); QueuePop(&queue); if (!front) //一定存在下一层节点，所以直接跳出去，不用插入所有节点 { QueuePop(&queue); break; } QueuePush(&queue, front->left); QueuePush(&queue, front->right); } while (!QueueEmpty(&queue)) { if (QueueFront(&queue)) { QueueDestroy(&queue); return false; } QueuePop(&queue); } QueueDestroy(&queue); return true; } 判断是否是子树 #include struct TreeNode { int val; struct TreeNode* left; //left sub tree struct TreeNode* right; //right sub tree }; bool isSubtree(struct TreeNode* root, struct TreeNode* subRoot){ if (subRoot == NULL) { return true; } if (root == NULL) { return false; } if (root->val == subRoot->val) //如果相等，且是相同子树，返回真 { if (isSameTree(root, subRoot)) { return true; } } return isSubtree(root->left, subRoot) || isSubtree(root->right, subRoot); } 判断两棵树是否相同相同 #include struct TreeNode { int val; struct TreeNode* left; //left sub tree struct TreeNode* right; //right sub tree }; bool isSameTree(struct TreeNode* p, struct TreeNode* q){ if (p == NULL && q == NULL) { return 1; } else if (p == NULL&&p != q || q == NULL && p != q) { /*注意逻辑运算先后顺序，整个if-else是判断有1个NULL以上为前提，运算符要求先有空*/ //可以优化成 p == NULL && q == NULL,因为已有前提; return 0; } if (p->val != q->val) { return 0; } else return isSameTree(p->left, q->left) && isSameTree(p->right, q->right); } 两个树是否对称 #include "Tree.h" bool _isSymmetric(BTNode *root1, BTNode *root2) { if (!root1 &&!root2) { return true; } if (!root1 || !root2) { return false; } if (root1->data != root2->data) { return false; } return _isSymmetric(root1->left, root2->right) && _isSymmetric(root1->right, root2->left); } bool isSymmetric(BTNode *root) { return !root || _isSymmetric(root->left, root->right); } 两棵树是否对称2 //检查左右子树是否对称 //检查方法: // 1.两个节点都为空为对称 // 2.两节点的值相等 && a节点左与b节点右对称 && a节点右与b节点左 class Solution { public: bool isSymmetric(TreeNode* root) { if (root == nullptr) return true; return check(root->left, root->right); } bool check(TreeNode* p, TreeNode* q) { if (!q && !p) return true; // 两个都是空 if (!q || !p) return false; // 两个都不是空的前提,其中一个为空,pass return check(p->left, q->right) && check(p->right, q->left) && p->val == q->val; } }; 二叉树的直径 543. 二叉树的直径 - 力扣（LeetCode） /** * Definition for a binary tree node. * struct TreeNode { * int val; * TreeNode *left; * TreeNode *right; * TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {} * TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {} * TreeNode(int x, TreeNode *left, TreeNode *right) : val(x), left(left), right(right) {} * }; */ /* 递归分解: 分别计算root左右节点的最大直径,然后求和与flag作比较+置换 (每个节点都要这么做) flag是最长路径的节点个数,flag-1就是路径数 (先计算节点数,最后再-1得到路径) */ class Solution { public: int answer = 0; //最长经过的节点数 int diameterOfBinaryTree(TreeNode* root) { answer = 1; //为空时满足return条件 depth(root); return answer-1; } int depth(TreeNode * root ){ if(root == nullptr) return 0; int L = depth(root->left); //root的左子树深度 = 左子树最长路径节点数 int R = depth(root->right);//root的右子树节点数 = ... answer = max(L+R+1,answer);//左右连起来最长路径节点数,与旧值比较 return max(L,R)+1; //返回root的最长子树的深度 } }; 单值二叉树 如果二叉树每个节点都具有相同的值，那么该二叉树就是单值二叉树 #include struct TreeNode { int val; struct TreeNode* left; //left sub tree struct TreeNode* right; //right sub tree }; bool isUnivalTree(struct TreeNode* root){ if (root == NULL) { return true; } if (root->left && root->left->val != root->val) { return false; } if (root->right && root->right->val != root->val) { return false; } return isUnivalTree(root->left) && isUnivalTree(root->right); } 翻转二叉树 TreeNode* invertTree(TreeNode* root) { if(root == nullptr) return nullptr; TreeNode* left = invertTree(root->left); TreeNode* right = invertTree(root->right); root->left = right; root->right =left; return root; } 最大深度 int maxDepth(TreeNode* root) { if(root == nullptr) return 0; return max(maxDepth(root->left),maxDepth(root->right))+1; } 用到的队列 Quque.h #pragma once #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1 #include #include #include #include //#include"tree.h" struct BinaryTreeNode; //类型声明 ： 类型是可以声明的，只要变量名就可以---原理，搜索整个源码 typedef struct BinaryTreeNode* QDataType; typedef struct QueueNode { struct QueueNode *next; QDataType data; }QNode; //控制变量结构体 //只有一个值，就不用定义结构体，有多个就定义结构题。 typedef struct Queue { struct QueueNode *head; //队头，出队，头删 struct QueueNode *tail; //队尾，入队，尾插 }Queue; //是指针变量就传二级指针，是普通变量就传一级 void QueueInit(Queue *pq); void QueueDestroy(Queue *pq); void QueuePush(Queue *pq, QDataType x); void QueuePop(Queue *pq); QDataType QueueFront(Queue *pq); QDataType QueueBack(Queue *pq); int QueueSize(Queue *pq); bool QueueEmpty(Queue *pq); Queue.c #include "Queue.h" void QueueInit(Queue *pq) { assert(pq); pq->head = NULL; pq->tail = NULL; } void QueueDestroy(Queue* pq) { assert(pq); QNode * next = NULL; QNode *cur = pq->head; while (cur) { next = cur->next; free(cur); cur = next; } pq->head=pq->tail = NULL; } void QueuePush(Queue *pq,QDataType x) { assert(pq); QNode *newnode = (QNode*)malloc(sizeof(QNode)); if (newnode == NULL) { perror("malloc fail "); exit(-1); } //先初始化再使用 newnode->data = x; newnode->next = NULL; //单链表队列-尾插头删。 if (pq->tail == NULL)//头尾都行，判断一个就可以了 { pq->head = pq->tail = newnode; } else //尾插 { pq->tail->next = newnode; //队尾指向的节点链接上新节点 pq->tail = newnode; //队尾指向新节点 } } void QueuePop(Queue *pq) { assert(pq); assert(!QueueEmpty(pq)); if (pq->head->next == NULL)//只有一个节点 { free(pq->head);//先释放 pq->tail = pq->head = NULL;//后置空 } else { QNode *next = pq->head->next;//记住下一个 free(pq->head);//释放头节点 pq->head = next;//下个节点成为新节点 } } QDataType QueueFront(Queue *pq) { assert(pq); assert(!QueueEmpty(pq)); return pq->head->data; } QDataType QueueBack(Queue *pq) { assert(pq); assert(!QueueEmpty(pq)); return pq->tail->data; } int QueueSize(Queue *pq) { assert(pq); QNode *cur = pq->head; int size = 0; while (cur) { size++; cur = cur->next; } return size; } bool QueueEmpty(Queue *pq) { assert(pq); //return QueueSize(pq) == 0; return pq->head == NULL ;//只要有一个就可以了 //head为空tail也为空 }